Question

9．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质得到DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，根据正方形的性质得到CB=CO，∠B=90°，根据直角三角形的全等的判定定理证明即可；
（2）证明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代换即可；
（3）根据矩形的判定定理证明四边形AEBD是矩形，设点H的坐标为（x，0），根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到点H的坐标．

解答 解（1）∵将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α，
∴DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，
∵四边形OCBA是正方形，
∴CB=CO，∠B=90°，
∴CB=CD，∠B=∠CDG=90°
在Rt△CDG与Rt△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG；
（2）∵∠CDG=90°，
∴∠CDH=90°，
在Rt△COH与Rt△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CD}\\{CH=CH}\end{array}\right.$，
∴Rt△COH≌Rt△CDH，
∴∠OCH=∠DCH，HO=DH，
∵Rt△CDG≌Rt△CBG，
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG，
∴∠HCG=∠DCG+∠DCH=45°，
HG=HD+DG=HO+BG；
（3）当G是AB中点时，四边形ADBE是矩形，
∵G是AB中点，
∴BG=AG=$\frac{1}{2}$AB
由（2）得DG=BG，
又∵AB=DE，
∴DG=$\frac{1}{2}$DE，
∴DG=GE=BG=AG，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=DE，
∴□ADBE是矩形，
设点H的坐标为（x，0），
则HO=HD=x，DG=BG=AG=3，AH=6-x，
由勾股定理得，（6-x）²+3³=（3+x）²，
解得，x=2，
∴H（2，0）．

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．