Question

14．已知x₁，x₂是二次方程ax²+bx+c=0的两根，记S₁=x₁+x₂，S₂=x₁²+x₂²，…，S_n=x₁ⁿ+x₂ⁿ，则aS_n+bS_n-1+cS_n-2的值为0．

Answer 1

分析 根据题意可以将所求式子与已知条件建立关系，从而可以解答本题．

解答 解：∵x₁，x₂是二次方程ax²+bx+c=0的两根，
∴ax₁²+bx₁+c=0，ax₂²+bx₂+c=0，
∴aS_n+bS_n-1+cS_n-2
=a（${{x}_{1}}^{n}+{{x}_{2}}^{n}$）+b（${{x}_{1}}^{n-1}+{{x}_{2}}^{n-1}$）+c（${{x}_{1}}^{n-2}+{{x}_{2}}^{n-2}$）
=$a{{x}_{1}}^{n}+b{{x}_{1}}^{n-1}+c{{x}_{1}}^{n-2}$+$a{{x}_{2}}^{n}+b{{x}_{2}}^{n-1}+c{{x}_{2}}^{n-2}$
=${{x}_{1}}^{n-2}（a{{x}_{1}}^{2}+b{x}_{1}+c）+{{x}_{2}}^{n-2}（a{{x}_{2}}^{2}+b{x}_{2}+c）$
=0+0
=0，
故答案为：0．

点评 本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确题意，找出所求式子与已知条件之间的关系．