Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点4 （1，-3 ），B （2，0）
（Ⅰ）求这个一次函数的解析式；
（Ⅱ）若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
①请直接写出所有符合条件的C点坐标；
②如果以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）①由A、O、B的坐标可分别求得OA、OB和AB的长，再分OA为对角线、OB为对角线和AB为对角线，结合平行四边形的对边平行且相等可求得C点坐标；②由OA=AB可知，当四边形为菱形时，OB为对角线，利用对称性可求得C点坐标．

解答 解：
（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），
由图象过A、B两点可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=3x-6；
（2）①∵A（1，-3）、B（2，0），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OB=2，AB=$\sqrt{（2-1）^{2}+[0-（-3）]^{2}}$=$\sqrt{10}$，
当OA为对角线时，如图1，过A作AC∥OB，连接OC，

∵四边形ABOC为平行四边形，
∴AC=OB=2，
∴C（-1，-3）；
当AB为对角线时，同上可求得C点坐标为（3，-3）；
当OB为对角线时，连接AC交OB于点D，如图2，

∵OA=AB=$\sqrt{10}$，
∴当四边形ABCO为平行四边形时，则四边形ABCO为菱形，
∴AC垂直平分OB，
∴C点坐标为（1，3）；
综上可知C点坐标为（-1，-3）或（3，-3）或（1，3）；
②由①可知当四边形为菱形时，由OA=AB，
∴OB为对角线，
∴此时C点坐标为（1，3）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、平行四边形的性质、菱形的判定和性质及分类讨论思想．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出C点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．