函数学习中.自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一.请解决下面的问题．(1)分别求出当2≤x≤4时.三个函数:y=2x+1.y=$\frac{2}{x}$.y=2(x-1)2+1的最大值和最小值,(2)若y=$\frac{2}{x}$的值不大于2.求符合条件的x的范围,(3)若y=$\frac{k}{x}$.当a≤x≤2时既无最大值.又无最小值.求a� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y=$\frac{2}{x}$，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）若y=$\frac{2}{x}$的值不大于2，求符合条件的x的范围；
（3）若y=$\frac{k}{x}$，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；
（4）y=2（x-m）²+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．

分析（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2（x-1）²+1的最大值和最小值；
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，解之即可得出x的取值范围；
（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y=$\frac{k}{2}$无最大值，有最小值$\frac{k}{2}$，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤$\frac{k}{a}$有最大值$\frac{k}{a}$，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=$\frac{k}{2}$无最小值，有最大值$\frac{k}{2}$，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤$\frac{k}{a}$有最小值$\frac{k}{a}$，无最大值，于是得到结论；
（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．

解答解：（1）∵y=2x+1中k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y_最小=5；当x=4时，y_最大=9．
∵y=$\frac{2}{x}$中k=2＞0，
∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y_最大=1；当x=4时，y_最小=$\frac{1}{2}$．
∵y=2（x-1）²+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=1时，y_最小=1；当x=4时，y_最大=19．
（2）令y=$\frac{2}{x}$≤2，
解得：x＜0或x≥1．
∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1．
（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y=$\frac{k}{2}$无最大值，有最小值$\frac{k}{2}$，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤$\frac{k}{a}$有最大值$\frac{k}{a}$，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=$\frac{k}{2}$无最小值，有最大值$\frac{k}{2}$，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤$\frac{k}{a}$有最小值$\frac{k}{a}$，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y=$\frac{k}{x}$既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；
（4）①当m＜2时，有2（2-m）²+m-2=1，
解得：m₁=1，m₂=$\frac{5}{2}$（舍去）；
②当2≤m≤4时，有m-2=1，
解得：m₃=3；
③当m＞4时，有2（4-m）²+m-2=1，
整理得：2m²-15m+29=0．
∵△=（-15）²-4×2×29=-7，无解．
∴m的值为1或3．

①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y=$\frac{k}{2}$无最大值，有最小值$\frac{k}{2}$，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤$\frac{k}{a}$有最大值$\frac{k}{a}$，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=$\frac{k}{2}$无最小值，有最大值$\frac{k}{2}$，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤$\frac{k}{a}$有最小值$\frac{k}{a}$，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y=$\frac{k}{x}$既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；

点评本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、二次函数的性质以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据一次（二次）函数的性质解决最值问题；（2）找出关于x的不等式；（3）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑．

试题分类