Question

18．如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有（　　）
①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=80°．

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，得到∠ACE=∠BCE，∠DCE=60°，根据平行线的判定定理得到AD∥CE，根据平行线的性质得到∠DAP=∠PEC，故③正确；根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CDB，根据三角形的内角和得到∠DPM=∠ACM=60°，故②正确，推出△ACM≌△DCN，故④正确；根据全等三角形的性质得到CM=CN，得到△CMN是等边三角形，求得∠CMN=60°，根据平行线的判定定理得到MN∥AB，故①正确；根据三角形的内角和得到∠AEB=90°．故⑤错误．

解答 解：∵△DAC、△ECB都是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ADC=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCE，∠DCE=60°，
∴AD∥CE，
∴∠DAP=∠PEC，故③正确；
在△ACE与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CDB，
∵∠PMD=∠AMC，
∴∠DPM=∠ACM=60°，故②正确，
在△ACM与△DCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{AC=CD}\\{∠ACM=∠DCN=60°}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN，故④正确；
∴CM=CN，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠ACD，
∴MN∥AB，故①正确；
∵∠DBE=30°，∠BPE=∠APD=60°，
∴∠AEB=90°．故⑤错误；
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．