Question

9．探究题：
定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．
例如：[5.7]=5，[-π]=-4．
（1）如果[a]=-2，那么a可以是A
A．-15     B．-2.5     C．-3.5    D．-4.5
（2）如果[$\frac{x+1}{2}$]=3，则整数x=5或6．
（3）如果[-1.6-$\frac{1}{6}$[$\frac{x+1}{2}$]]=-3，满足这个方程的整数x共有12个．

Answer 1

分析 （1）根据新定义解答即可得；
（2）由新定义得出3≤$\frac{x+1}{2}$＜4，解之可得答案；
（3）令[$\frac{x+1}{2}$]=y，得[-1.6-$\frac{1}{6}$y]=-3，即-3≤-1.6-$\frac{1}{6}$y＜-2，解之得出整数y的值，从而有[$\frac{x+1}{2}$]=3、4、5、6、7、8，再进一步求解可得．

解答 解：（1）根据题意知，[a]=-2表示不超过a的最大整数，
∴a可以是-15，
故选：A；

（2）根据题意得3≤$\frac{x+1}{2}$＜4，
解得：5≤x＜7，
则整数x=5或6，
故答案为：5或6；

（3）令[$\frac{x+1}{2}$]=y，
则原方程可变形为[-1.6-$\frac{1}{6}$y]=-3，
∴-3≤-1.6-$\frac{1}{6}$y＜-2，
解得：2.4＜y≤8.4，
则y可取的整数有3、4、5、6、7、8，
若y=3，则3≤$\frac{x+1}{2}$＜4，解得：5≤x＜7，其整数解有5、6；
若y=4，则4≤$\frac{x+1}{2}$＜5，解得：7≤x＜9，其整数解有7、8；
若y=5，则5≤$\frac{x+1}{2}$＜6，解得：9≤x＜11，其整数解有9、10；
若y=6，则6≤$\frac{x+1}{2}$＜7，解得：11≤x＜13，其整数解有11、12；
若y=7，则7≤$\frac{x+1}{2}$＜8，解得：13≤x＜15，其整数解有13、14；
若y=8，则8≤$\frac{x+1}{2}$＜9，解得：15≤x＜17，其整数解有15、16；
∴满足这个方程的整数x共有12个，
故答案为：12．

点评 本题主要考查解一元一次不等式组，理解新定义将方程转化为不等式组求解是解题的关键．