Question

5．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x²+bx-3与x轴相交于点A（-3，0）和点B，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，直线y=kx+3k经过点A，与y轴正半轴相交于点D，点P为第三象限内抛物线上一点，连接PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD=2∠PDC，若∠AEP+∠ADP=90°，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EF⊥PD，垂足为点G，EF与y轴相交于点F，连接PF，若sin∠PFC=$\frac{1}{3}$，求PF的长．

Answer 1

分析 （1）直接把A点坐标代入y=x²+bx-3求出b的值即可得到抛物线解析式为y=x²+2x-3；
（2）如图2，由三角形外角性质得∠AEP=∠2+∠3，加上∠3=2∠1，则∠AEP=∠2+2∠1，再利用∠AEP+∠2=90°可∠1+∠2=45°，于是可判断△AOD为等腰直角三角形，则OD=OA=3，由此得到D点坐标为（0，3）；
（3）过D作DH⊥y轴交PE的延长线于H，作PM⊥DH于M，PN⊥y轴于N，如图3，利用PM∥DN得到∠PDC=∠DPM，加上∠EPD=2∠PDC，则∠HPM=∠DPM，于是根据等腰三角形的性质可得MH=MD，接着判断四边形PNDM为矩形得到MD=PN，则DH=2PN，然后证明△DEH≌△DEF得到DH=DF，所以DF=2MD=2PN；再在Rt△PFN中利用正弦定义可得到PF=3PN，利用勾股定理得FN=$\sqrt{2}$PN，设P点坐标为（t，t²+2t-3），则DF=-2t，FN=-2$\sqrt{2}$t，于是可表示出ON=DF+FN-OD=-2t-2$\sqrt{2}$t-3，所以-2t-2$\sqrt{2}$t-3=-（t²+2t-3），解方程得到得t₁=-$\sqrt{2}$，t₂=3$\sqrt{2}$（舍去），所以PF=3PN=3$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）把A（-3，0）代入y=x²+bx-3得9-3b-3=0，解得b=2，
所以抛物线解析式为y=x²+2x-3；
（2）如图2，∵∠AEP=∠2+∠3，
而∠3=2∠1，
∴∠AEP=∠2+2∠1，
∵∠AEP+∠2=90°，
∴∠2+2∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠2=45°，即∠ADO=45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴OD=OA=3，
∴D点坐标为（0，3）；
（3）过D作DH⊥y轴交PE的延长线于H，作PM⊥DH于M，PN⊥y轴于N，如图3，
∵PM∥DN，
∴∠PDC=∠DPM，
∵∠EPD=2∠PDC，
∴∠HPM=∠DPM，
而PM⊥DH，
∴MH=MD，
易得四边形PNDM为矩形，
∴MD=PN，
∴DH=2PN，
∵EF⊥PD，
∴∠GDF+∠DFG=90°，
而∠PHD+∠HPM=90°，
∴∠DFG=∠PHM，
∵∠ADF=45°，
∴∠HDE=45°，
在△DEH和△DEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠DFE}\\{∠HDE=∠FDE}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△DEF，
∴DH=DF，
∴DF=2MD=2PN，
在Rt△PFN中，∵sin∠PFC=$\frac{PN}{PF}$=$\frac{1}{3}$，
∴PF=3PN，
∴FN=$\sqrt{P{F}^{2}-P{N}^{2}}$=$\sqrt{9P{N}^{2}-P{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$PN，
设P点坐标为（t，t²+2t-3），则DF=-2t，FN=-2$\sqrt{2}$t，
∴ON=DF+FN-OD=-2t-2$\sqrt{2}$t-3，
∴-2t-2$\sqrt{2}$t-3=-（t²+2t-3），
整理得t₁=-$\sqrt{2}$，t₂=3$\sqrt{2}$（舍去），
∴PF=3PN=-3t=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；会应用三角形全等证明线段相等；理解锐角三角函数的定义．