Question

7．如图，直线l₁∥l₂∥l₃，且l₁与l₃之间的距离为$\sqrt{3}$，l₂与l₃之间的距离为1．若点A，B，C分别在直线l₁，l₂，l₃上，且AC⊥BC，AC=BC，AC与直线l₂交于点D，则BD的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分别过点A、B、D作AF⊥l₃，BE⊥l₃，DG⊥l₃，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．

解答 解：分别过点A、B、D作AF⊥l₃，BE⊥l₃，DG⊥l₃，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，
在△BCE与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{BC=AC}\\{∠BCE=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF（ASA）
∴CF=BE，CE=AF，
∵l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为$\sqrt{3}$，
∴CF=BE=1，CE=AF=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACF中，
∵AF=$\sqrt{3}$，CF=1，
∴AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2，
∵AF⊥l₃，DG⊥l₃，
∴△CDG∽△CAF，
∴$\frac{DG}{AF}$=$\frac{CD}{AC}$，$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{CD}{2}$，解得CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．