Question

16．如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 不能确定

Answer 1

分析 过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．

解答 解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE=EM=$\frac{1}{2}$AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=∠CDQ}\\{∠PMD=∠DCQ}\\{PM=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DM=$\frac{1}{2}$CM；
∴DE=DM+ME=$\frac{1}{2}$（AM+MC）=$\frac{1}{2}$AC=3．
故选B．

点评 此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．