题目内容
如图6123(1)，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证：AE＝BC；
(2)如图6123(2)，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到△AE′F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′；
(3)在(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
又BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°.
∴∠BEC＝180°－∠C－∠CBE＝72°.
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C.
∴AE＝BE，BE＝BC.∴AE＝BC.
(2)证明：∵AC＝AB，且EF∥BC，∴AE＝AF.
由旋转的性质，可知∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′.
∴△CAE′≌△BAF′.∴CE′＝BF′.
(3)解：存在．
由(1)可知AE＝BC，则在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M，N两点，如图38.
①当点E的像E′与点M重合时，
则四边形ABCM为等腰梯形．
∴∠BAM＝∠ABC＝72°.
又∠BAC＝36°，∴α＝∠CAM＝36°.
②当点E的像E′与点N重合时，
由AB∥l，得∠AMN＝∠BAM＝72°.
∵AM＝AN，∴∠ANM＝∠AMN＝72°.
∴∠MAN＝180°－2×72°＝36°.
∴α＝∠CAN＝∠CAM＋∠MAN＝72°.
综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB.
图38
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
， 并化简
．