Question

如图，点M是Rt△ABC斜边BC的中点，点P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．
（1）如图1，若P、Q分别是AB、AC的中点，求证：PQ²=PB²+QC²；            
（2）如图2，若P、Q分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）由中位线的性质就可以得出四边形PBMQ为平行四边形，就有PB=MQ，∠B=∠QMC，就可以得出△MQC是直角三角形，由勾股定理就可以得出结论；
（2）延长PM到N，使MN=MP，连接CN就可以得出PQ=NQ，由△PMB≌△CMN，就可以得出PB=NC，∠B=∠NCM，就可以得出△NCQ是直角三角形，由勾股定理就可以得出结论．

解答：证明：（1）如图1，∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ∥BC，PQ=

1

2

BC．
∵M是BC的中点，
∴BM=CM=

1

2

BC，
∴BM=PQ=CM，
∴四边形PBMQ是平行四边形，
∴PB=QM，PB∥QM，
∴∠B=∠QMC．
∵∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠QMC+∠C=90°，
∴∠MQC=90°．
∴MQ²+CQ²=CM²，
∴BP²+CQ²=PQ²；
（2）PQ²=PB²+QC²成立．
理由：如图2，延长PM到N，使MN=MP，连接CN．
∵M是BC的中点，
∴BM=CM．
在△BMP和△CMN中

BM=CM ∠BMP=∠CMN MP=MN

，
∴△BMP≌△CMN（SAS），
∴PB=NC，∠B=∠NCM．
∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠NCM+∠ACB=90°，
即∠NCQ=90°．
∴QN²=CQ²+CN²．
∵PM⊥QM，PM=NM，
∴PQ=NQ，
∴PQ²=PB²+QC²．

点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形中位线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．