Question

如图，正方形ABCD中，AB=10，点E、F分别是正方形ABCD的边AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G，GH⊥AD于点H，则下列结论中正确的是（　　）

• A、△GDC为等边三角形
• B、∠ADE=∠FCG
• C、sin∠DCG=

  4

  5

• D、CG=FG+EG

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：根据正方形的性质可得AB=BC=AD，再求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=DE，全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠AGE=90°，从而得到AF⊥DE，取AD的中点M，连接CM交DE于N，同理可得CM⊥DE，然后求出CM垂直平分DG，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CG=CD，再根据垂线段最短可得DG＜AD，从而判断出△GDC不是等边三角形；利用勾股定理列式求出AF、DE，再利用三角形的面积列式AG，然后求出GF，从而得到FG≠FC，再求出∠ADE≠∠FCG；利用∠GAH的余弦求出AH，再求出HD，过点G作DK⊥CD于K，可得GK=HD，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解；分别求出FG、EG，然后计算即可判断出CG≠FG+EG．

解答：解：如图，正方形ABCD中，AB=BC=AD=10，
∵点E、F分别是边AB和BC的中点，
∴AE=BF=5，
在△ABF和△DAE中，

AB=AD ∠DAE=∠B=90° AE=BF

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AF=DE，∠BAF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED+∠BAF=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中点M，连接CM交DE于N，
同理可得CM⊥DE，
∵M是AD的中点，F是BC的中点，
∴AF∥CM，
∴CM垂直平分DG，
∴CG=CD，
又DG＜AD，
∴CD=CG≠DG，
∴△GDC为等边三角形错误，故A选项结论错误；

由勾股定理得，AF=DE=

102+52

=5

5

，
∴S_△ADE=

1

2

×5

5

AG=

1

2

×10×5，
解得AG=2

5

，
∴FG=5

5

-2

5

=3

5

，
∴FG≠FC，
∴∠FGC≠∠FCG，
∵∠FGC=∠GCN=∠DCN=∠ADE，
∴∠ADE≠∠FCG，故B选项结论错误；

∵AH=AGcos∠DAG=AGcos∠AED=2

5

×

5

5 5

=2，
∴HD=AD-AH=10-2=8，
过点G作DK⊥CD于K，可得GK=HD，
∴sin∠DCG=

GK

CG

=

8

10

=

4

5

，故C选项结论正确；

∵FG=3

5

，
EG=AG•tan∠BAF=2

5

×

5

10

=

5

，
∴FG+EG=3

5

+

5

=4

5

，
∵CG=10，
∴CG≠FG+EG，故D选项结论错误．
故选C．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理的应用，综合性较强，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．