Question

7．如图，点B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，点A，C分别在x轴、y轴正半轴上，且四边形OABC为正方形．
（1）求点B的坐标；
（2）点P是y=$\frac{4}{x}$在第一象限的图象上点B右侧一动点，且S_△POB=S_△AOB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设B（t，$\frac{4}{t}$），利用正方形的边长相等得到t=$\frac{4}{t}$，解得t=2，于是得到B（2，2）；
（2）直线OB的解析式为y=x，过点A作OB的平行线l交反比例函数在第一象限的图象于P点，如图，利用待定系数法求出直线l的解析式为y=x-2，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得P点坐标．

解答 解：（1）设B（t，$\frac{4}{t}$），
∵四边形OABC为正方形，
∴AB=CB，即t=$\frac{4}{t}$，
∴t=2，
∴B（2，2）；
（2）直线OB的解析式为y=x，
过点A作OB的平行线l交反比例函数在第一象限的图象于P点，如图，
设直线l的解析式为y=x+m，
把A（2，0）代入得2+m=0，解得m=-2，
所以直线l的解析式为y=x-2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{5}}\\{y=-1-\sqrt{5}}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}}\\{y=-1+\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴P（1+$\sqrt{5}$，-1+$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．