Question

15．已知：直线l过点（0，2），且与x轴平行；直线y=$\frac{1}{4}$x+1与y轴交于A点，与直线l交于B点；抛物线y=-x²+2mx-m²+2的顶点为C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求点C的坐标（用m表示）；
（3）若抛物线y=-x²+2mx-m²+2与线段AB有公共点，求m的取值范围．?

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（2）根据配方法，可得顶点坐标；
（3）根据图象过线段的端点，可得m的值，根据根的判别式，列出不等式组可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=1，即A点坐标为（0，1）；
直线l是y=2，
当y=2时，x=4，即B（4，2）；
（2）配方，得
y=-（x-m）²+2，即C（ m，2 ）．
（3）∵y=-x²+2mx-m²+2过A（0，1），
∴m=1或m=-1．
又∵y=-x²+2mx-m²+2过B（4，2），
∴m=4
又∵直线$y=\frac{1}{4}x+1$与抛物线y=-x²+2mx-m²+2有唯一交点时
得方程$\frac{1}{4}x+1$=-x²+2mx-m²+2
∴△=（-2m+$\frac{1}{4}$）²-4（m²-1）=0
∴m=$\frac{65}{16}$，此时交点的横坐标小于4，在线段AB上，
由题意，满足$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2≤1}\\{-{m}^{2}+2≥-\frac{6{5}^{2}}{1{6}^{2}}+2}\end{array}\right.$时，抛物线与线段AB有公共点，
解得-$\frac{65}{16}$≤m≤-1或1≤m≤$\frac{65}{16}$．

点评 本题考查了二函数的性质，解（1）的关键是利用自变量与函数值的对应关系，解（2）的关键是配方法，解（3）的关键是利用根的判别式．