Question

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{7}{2}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：①当A'在AC上方时，由折叠可得∠AED=∠A'ED，当A'E⊥AC时，∠AED=∠A'ED=45°，再过D作DF⊥AC于F，过B作BG⊥A'E于G，则△DEF是等腰直角三角形，再根据DF∥BC，D是AB的中点，BC=3，求得EF=$\frac{3}{2}$，CE=$\frac{1}{2}$，最后根据等腰Rt△A'BG中，A'B=$\sqrt{2}$BG，即可得到结论．②当A'在AC下方时，也是作辅助线构造等腰直角三角形和矩形，利用勾股定理进行计算求解．

解答 解：①如图所示，A'在AC上方，
∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
由折叠可得∠AED=∠A'ED，
当A'E⊥AC时，∠AED=∠A'ED=45°，
如图，过D作DF⊥AC于F，过B作BG⊥A'E于G，则△DEF是等腰直角三角形，
∵DF∥BC，D是AB的中点，BC=3，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=2，DF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$，CE=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴矩形BCEG中，BG=CE=$\frac{1}{2}$，BC=EG=3，
∵AE=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴A'E=$\frac{7}{2}$，
∴A'G=$\frac{7}{2}$-3=$\frac{1}{2}$，即A'G=BG，
∴等腰Rt△A'BG中，A'B=$\sqrt{2}$BG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

②如图所示，A'在AC的下方，
由折叠可得∠AED=∠A'ED，
当A'E⊥AC时，∠AED=∠A'ED=135°，∠A'EF=90°，故∠DEF=45°，
过D作DF⊥AC于F，过A'作BG⊥BC于G，则△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=EF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
又∵AF=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴AE=$\frac{1}{2}$，EC=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$=A'G，
又∵A'E=AE=$\frac{1}{2}$，
∴CG=$\frac{1}{2}$，
∴BG=BC+CG=$\frac{7}{2}$，即A'G=BG，
∴等腰Rt△A'BG中，A'B=$\sqrt{2}$BG=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$，

故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{7}{2}\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平行线分线段成比例定理以及勾股定理的综合应用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．