Question

10．如图，抛物线y=ax²+bx经过A（4，0），B（1，3）两点，点B、C关于抛物线的对称轴l对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形？若存在，请求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得MH，HN的值，根据点的坐标，可得答案．

解答 解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax²+bx中，
得  $\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$
 解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+4x．
（2）∵抛物线y=-x²+4x的对称轴为x=2，
又点B的坐标为（1，3），点B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标为（3，3）．
假设存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形．
①当M在x轴上方时，如图1
，
∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，
∴∠CMB=∠MNH．
在△CBM和△MHN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠MNH}\\{∠CBM=∠MHN}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴M（1，2），N（2，0）．
②M在x轴下方时，如图2
，
∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，
∴∠CMB=∠MNH．
在△CBM和△MHN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠MNH}\\{∠CBM=∠MHN}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
△CBM≌△MHN（AAS），
∴HM=CB=2，HN=MB=2+3=5，
∴M（1，-2），N（-4，0）．
综上所述，存在这样的点M（1，2），N（2，0）或M（1，-2），N（-4，0）使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出MH，HN的值，要分类讨论，以防遗漏．