题目内容

7．某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t/天1361036…
日销售量m/件9490847624…
未来40天内，前20天每天的价格y1 （元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=0.25t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2 （元/件）与时间t（天）的函数关系式y2=-0.5+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品，就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，请直接写出a的取值范围．

分析 （1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知，m（件）与t（天）满足一次函数关系．
设一次函数关系式为m=kx+b，将$\left\{\begin{array}{l}{t=1}\\{m=94}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{t=3}\\{m=90}\end{array}\right.$分别代入一次函数关系式m=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{94=k+b}\\{90=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$，
∴m=-2t+96，
经检验，其他m与t的对应值均适合以上关系式，故所求关系式为m=-2t+96．

（2）设前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，
则P1=（-2t+96）（0.25t+25-20），
=-$\frac{1}{2}$t2+14t+480，
=-$\frac{1}{2}$（t-14）2+578．
∵1≤t≤20，
∴当t=14时，P1有最大值，为578．
P2=（-2t+96）（-0.5t+40-20），
=t2-88t+1920=（t-44）2-16，
∵21≤t≤40，此函数图象的对称轴是直线t=44，
∴当t=21时，P2有最大值，为（21-44）2-16=513．
∵578＞513，
∴第14天的日销售利润最大，为578元．

（3）由题意得：P=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+5-a）（1≤t≤20）
配方得：P=-$\frac{1}{4}$[t-2（a+7）]2+2（a-17）2（1≤t≤20），
要使日销售利润随时间t增大而增大，则要求对称轴x=2（a+7）≥20解得a≥3；
又题目要求a＜4，故3≤a＜4．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．

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