题目内容
9．观察下列等式：①1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，②$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，③$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，④$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，…
（1）按此规律完成第⑤个等式：（$\frac{1}{5}$）=（$\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{30}$）；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
分析 （1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为1，第二个式子的左边分母为2，…第五个式子的左边分母为5；右边第一个分数的分母为2，3，4，…第五个则为6，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；
（2）由（1）的规律发现第n个式子为$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n（n+1）}$，利用分式的加减证明即可．
解答 解：（1）∵1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，
$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，
$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，
…
∴$\frac{1}{5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{30}$；
故答案为：$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{30}$；
（2）由规律可得，
第n个等式（用含n的式子表示）为：$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$$+\frac{1}{n（n+1）}$，
∵右边=$\frac{n}{n（n+1）}$$+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$
∴左边=右边，
即$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$$+\frac{1}{n（n+1）}$．
点评 此题考查数字的变化规律，关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律，并应用发现的规律解决问题．
练习册系列答案
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20．
如图，⊙O的直径AB=6，点C在⊙O上，连接AC，OC，若∠A=35°，则$\widehat{BC}$的长为（ ）
如图，⊙O的直径AB=6，点C在⊙O上，连接AC，OC，若∠A=35°，则$\widehat{BC}$的长为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$π | B． | $\frac{7}{3}$π | C． | $\frac{7}{6}$π | D． | 2π |
如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点P为BC的中点，连接EP，AD．
如图，已知△ABC，∠B=30°，∠C=60°，AC=2，E是BC边上一点，将△AEC沿AE翻折，点C落在点D处，若DE∥AB，则EC=4-2$\sqrt{3}$．
如图，弦BE与弦CD交于点G，点E为$\widehat{DC}$的中点，过点B的直线交DC延长线于点A，AB∥DE．
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b2-4ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3；③2a+b=0；④当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小．其中结论正确的个数是（ ）
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A'处，当A'E⊥AC时，A'B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{7}{2}\sqrt{2}$．