Question

12．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，进而利用等腰三角形的性质以及切线的性质得出∠CDO+∠CDE=90°，进而得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出DE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出AG的长．

解答 （1）证明：连接OD． 
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∵OC⊥AB，
∴∠COF=90° 
∴∠OCD+∠CFO=90°，
∴∠ODC+∠CFO=90°，
∵∠EFD=∠FDE，
∠EFD=∠CDE，
∴∠CDO+∠CDE=90°，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=EO²，
∴3²+x²=（x+1）²，
解得：x=4，
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{EO}{EG}$=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{DO}{AG}$，
即$\frac{3}{AG}$=$\frac{4}{8}$，
解得：AG=6．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定与性质，正确得出Rt△EOD∽Rt△EGA是解题关键．