Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C（-1，0），如图所示，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且点B横坐标为-3
（1）求证：△BDC≌△C0A；    
（2）求BC所在直线的函数解析式；
（3）若点P（x，y）是在轴下方的直线BC上的一动点，当点P运动过程中，试写出△POC的面积S与x的函数关系式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，可得∠BCD=∠OAC，然后利用AAS可证明△BDC≌△COA；
（2）分别求出点B和点C的坐标，然后设出函数关系，代入求出BC所在直线的函数解析式；
（3）根据S_△POC=

1

2

OC•|y_P|即可求得△POC的面积S与x的函数关系式．

解答：（1）证明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BDC和△COA中，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）解：∵C点坐标为（-1，0），
∴BD=CO=1，
∵B点横坐标为-3，
∴B点坐标为（-3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴

-k+b=0 -3k+b=1

，
解得：

k=- 1 2 b=- 1 2

，
∴BC所在直线的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

；
（3）解：∵点P（x，y）是在轴下方的直线BC上的一动点，
∴y=-

1

2

x-

1

2

；
∴S_△POC=

1

2

OC•|y_P|=

1

2

×1×（

1

2

x+

1

2

）=

1

4

x+

1

4

，（x＞-1）；
故△POC的面积S与x的函数关系式为：S=

1

4

x+

1

4

，（x＞-1）；

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，求三角形的面积等，根据解析式求点的坐标，关键在于（1）推出∠BCD=∠OAC，（2）根据（1）的结论推出B点的坐标．