Question

如图在平面直角坐标系中，已知直角梯形OABC的顶点分别是O（0，0），点A（9，0），B（6，4）．点P从点C沿C-B-A运动，速度为每秒2个单位，点Q从A向O点运动，速度为每秒1个单位，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．两点同时出发，设运动的时间是t秒．
（1）点C的坐标是（

 

，

 

）；
（2）点P和点Q先到达终点是点

 

；到达终点时t的值是

 

秒；
（3）当点P在线段BC上运动时，是否存在符合题意的t的值，使线段PQ=5？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由；
（4）当点P在线段BC上运动时，是否存在符合题意的t的值，使直角梯形OABC被直线PQ分成的两个部分面积之比为1：2？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据BC∥OA，即可求得C的坐标；
（2）求出BC，AB的长度，AQ的长度，即可求得从出发点到终点的时间；
（3）P从C到B所用的时间是：3秒，即可求得t的范围，作PD⊥OA于点D，在直角△PDQ中利用勾股定理即可列方程求得t的值；
（4）首先求得梯形ABCO的面积，根据直角梯形ABCO被直线PQ分成的两个部分面积之比为1：2，即可求得直角梯形QPCO的面积，利用时间t表示出直角梯形QPCO的面积，即可列方程求解．

解答：解：（1）C的坐标是（0，4）；
（2）AB=5，BC+BA=11，OA=9，

11

2

=5.5，
∴点P首先到达，到达的时间是5.5秒；
（3）P从C到B所用的时间是：

6

2

=3（秒），
在3秒内，Q从A到（6，0），则P一定在Q的左边．
设运动的时间是t秒，则CP=2t秒，AQ=t秒，
如图1，作PD⊥OA于点D，则D的坐标是（2t，0），PD=OC=4，
DQ=OA-OD-AQ=9-2t-t=9-3t，
在直角△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，即16+（9-3t）²=25，
解得：t=2或4（舍去）．
故当t=2时，PQ=5；
（4）如图2．
∵A（9，0），B（6，4），
∴BC=6，OA=9，CO=4，
∴S_{直角梯形ABCO}=

1

2

（BC+OA）•OC=

1

2

（6+9）×4=30，
设运动的时间是t秒，则CP=2t秒，AQ=t秒，则OQ=9-t，
则S_梯形QPCO=

1

2

（PC+OQ）•OC=

1

2

（2t+9-t）×4=2t+18．
当S_梯形QPCO=

1

3

S_{直角梯形ABCO}=

1

3

×30=10时，2t+18=10，
解得：t=-4（舍去）；
当S_梯形QPCO=

2

3

S_{直角梯形ABCO}=

2

3

×30=20时，2t+18=20，解得：t=1．
则当t=1时，直角梯形OABC被直线PQ分成的两个部分面积之比为1：2．

点评：本题考查了直角梯形和列方程解应用题，正确利用时间t表示出图形中线段的长度以及梯形的面积是关键．