Question

已知，如图，点O是的角∠MAN平分线上任意一点，以点O为圆心的圆切AM于点B．
（1）求证：直线AN是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若∠MAN=60°，且AO=2cm，求两切点之间的弧长．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算

专题：

分析：（1）连接OB，作OC⊥AN于C，根据切线性质推出OB⊥AM，根据角平分线性质得出OC=OB，根据切线的判定推出即可；
（2）先求得∠BOC=120°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得半径，然后根据弧长公式即可求得．

解答：（1）证明：连接OB，作OC⊥AN于C，
∵⊙O切AM于B，
∴OB⊥AM，
又∵AO平分∠MPN，OC⊥AN，
∴OC=OB，
∴直线AN是⊙O的切线．
（2）解∵直线AN，AM是⊙O的切线，
∴∠MAO=

1

2

∠MAN=

1

2

×60°=30°，
∵OC⊥AN，OB⊥AM，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∴∠BOC=360°-∠MAN-∠ABO-∠ACO=360°-60°-90°-90°=120°，
在RT△ABO中，∠MAO=30°，AO=2cm，
∴OB=

1

2

AO=

1

2

×2=1cm，
∴劣弧BC的长为

120π×1

180

=

2

3

π，
同理：优弧BC的长为

240π×1

180

=

4

3

π，
∴两切点之间的弧长为

2

3

π或

4

3

π．

点评：本题考查了切线的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，弧长的计算等，作出OC⊥AN是解题的关键．