Question

在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．
求证：PF＝PQ ；
（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．

Answer 1

（1）（2）证明：在等腰直角三角形APD中，，DA=DP，，∴DP⊥AD于D，由（1）可得，∴，又∵PG⊥x轴于G，∴PG = PD，∴，∴，∴，即，又∵PQ⊥PF，∴，∴，在△PGF和△PDQ中，，，，∴△PGF≌△PDQ，∴PF=PQ（3）
OP⊥DP，OP＝DP 证明：延长DP至H，使得PH=PD，∵P为BE的中点，∴PB=PE，在△PBH和△PED中，，，，∴△PBH≌△PED，∴BH=ED，∴，∴BH∥ED，在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，，∴AD=BH，，∴DE∥x轴，BH∥x轴， BH⊥y轴，∴，由（1）可得 OA=OB，在△DAO和△HBO中，，，，∴△DAO≌△HBO，∴OD=OH，∠5=∠6，∵∴，∴在等腰直角三角形△DOH中，∵DP=HP，∴OP⊥DP，，∴，∴OP=PD

试题分析：（1）
直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（－6，0），B（0，6），∴OA=OB，∴，在△AOB中，，∴
（2）由，DA=DP，推出DP⊥AD，再利用（1）中的结论，结合图像，以及全等三角形的判定，可以推出，∴PF=PQ。
（3）由于PB=PE，以及全等三角形的判定定理推出△PBH≌△PED，由此可以推出BH∥ED，又因为在等腰直角三角形ADE中，AD=BH，，所以利用全等三角形的判定定理，推出△DAO≌△HBO，同时利用等腰直角三角形的特殊性，可以推出OP=PD
点评：本题看似复杂，实则许多地方都用到了全等三角形的判断，全等三角形在中考中是重点，也是难点，学生应该加强这方面的练习，做到举一反三。