Question

（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，EF垂直平分AC，垂足为O，联结AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）点P在线段AC上，满足，求证：CD∥PE．

Answer 1

（1）四边形AFCE是菱形，（2）CD//PE.

试题分析：证明：（1）∵四边形ABCD矩形，∴AD∥BC，∴         （2分）
∵EF平分AC，∴AO=OC，∴EO=OF         （1分）
∴四边形AFCE是平行四边形        （1分）
∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形.  （1分）
（2）∵EF垂直平分AC，∴AC=2AO，∠AOE=90°       （1分）
∵，∴，∴     （1分）
∵∠EAP=∠OAE，∴△AOE∽△AEP         （1分）
∴∠AEP=∠AOE=90°         （1分）
又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°          （1分）
∴∠AEP=∠D       （1分）
∴CD∥PE        （1分）
点评：熟练掌握以上几个特殊图形的概念及性质，结合已知不难求出结论，对概念性质的理解是解决本题的关键，利用相似三角形的性质，得到边与边，角与角的关系，本题属于中档题，有一定的难度。