Question

如图所示，已知矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F.

（1）试判断四边形AFCE是怎样的四边形；
（2）求出四边形AFCE的周长.

Answer 1

（1）菱形；（2）25cm

试题分析：（1）根据矩形的性质结合EF垂直平分AC，可证得△AOE≌△COF，从而得到四边形AFCE为平行四边形，再有FE⊥AC，即可证得结论；
（2）设AE=xcm，根据矩形、菱形的性质结合勾股定理即可列方程求解．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠D=90°
∵四边形AFCE为菱形，
∴AE=CE
设AE=CE =xcm，则DE=（8-x）cm
在Rt△CDE中，
解得
则四边形AFCE的周长
点评：解答本题的关键是熟练掌握矩形的对边平行且相等，四个角都为直角；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．