Question

如图1，线段AD、BC相交于点O，∠B=32°，∠D=38°

（1）若∠A=60°，求∠AOB和∠C的大小；
（2）如图2，若∠BAO、∠DCO的角平分线AM、CM相交于点M，求∠M的大小；
（3）若改变条件，设∠B=α，∠D=β，试用含α、β的代数式表示∠M的大小．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）在△AOB中利用三角形内角和定理可求得∠AOB，在△COD中可求得∠C；
（2）由条件可知∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，再利用角平分线的定义可得到∠M=∠B+

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（∠BAO-∠DCO），而在△AOB和△COD中可得∠B+∠BAO=∠D+∠DCO，可求得∠BAO-∠DCO的大小，从而可求得∠M；
（3）类似（2）可以找到∠B、∠D和∠M之间的关系．

解答：解：
（1）∵∠B=32°，∠A=60°，
∴∠AOB=180°-32°-60°=88°，
∵∠A+∠B=∠C+∠D，
∴∠C=∠A+∠B-∠D=60°+32°-38°=54°；
（2）∵∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，
∴∠M=∠B+∠BAM-∠BCM，
∵AM、CM分别平分∠BAO、∠BCD，
∴∠BAM=

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∠BAO，∠BCM=

1

2

∠DCO，
∴∠M=∠B+

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2

（∠BAO-∠DCO），
∵∠B+∠BAO=∠D+∠DCO，
∴∠BAO-∠DCO=∠D-∠B=38°-32°=6°，
∴∠M=32°+3°=35°；
（3）由（2）可知∠M=∠B+

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2

（∠BAO-∠DCO）=∠B+

1

2

（∠D-∠B）=

1

2

（∠B+∠D），
∵∠B=α，∠D=β，
∴∠M=

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2

（α+β）．

点评：本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，在复杂图形中能充分利用三角形内角和定理及外角的性质找到角之间的关系是解题的关键．