Question

15．在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b经过点A（3，1），与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接OA，若S_△AOB：S_△BOC═1：2，求直线y=kx+b的解析式．

Answer 1

分析 分两种情况考虑：①直线y=k₁x+b经过第一、三、四象限，由S_△AOB：S_△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线y=k₁x+b经过第一、二、四象限，由S_△AOB：S_△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．

解答 解：根据题意，有两种情况：
①直线y=kx+b经过第一、三、四象限，如图1所示．

∵S_△AOB：S_△BOC=1：2，点A（3，1），
∴点C的坐标为（0，-2）．
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=x-2．

②直线y=k₁x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．

∵S_△AOB：S_△BOC=1：2，点A（3，1），
∴点C的坐标为（0，2）．
则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是分两种情况分别求出点C的坐标．结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．