Question

3．已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点
（1）求证：EF＜$\frac{1}{2}$（AC+BD）
（2）请进一步证明：EF≤$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

Answer 1

分析 （1）如图1，取AD的中点G，连接EG，FG，根据三角形的中位线的性质得到EG+FG=$\frac{1}{2}$（BD+AC），根据三角形的三边关系健康得到结论；
（2）①如图2，当AD与BC不平行，取AC的中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线的性质得到FH=$\frac{1}{2}$AD，EH=$\frac{1}{2}$BC，根据三角形的三边关系得到EF＜$\frac{1}{2}$（AD+BC），②当AD∥BC时，得到EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），于是得到结论；

解答 解：（1）如图1，取AD的中点G，连接EG，FG，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EG，FG分别是△ABD与△ACD的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}$BD，FG=$\frac{1}{2}$AC
∴EG+FG=$\frac{1}{2}$（BD+AC），
在三角形EFG中，∵EF＜EG+FG，
∴EF＜$\frac{1}{2}$（AC+BD）；

（2）①如图2，当AD与BC不平行，取AC的中点H，连接EH，FH，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EH，FH分别是△ACD与△ACB的中位线，
∴FH=$\frac{1}{2}$AD，EH=$\frac{1}{2}$BC，
∴FH+EH=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∵EH+FH＞EF，
∴EF＜$\frac{1}{2}$（AD+BC），
②当AD∥BC时，
E，H，F三点共线，
∴EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴EF≤$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

点评 本题考查了三角形的中位线的性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．