题目内容

8．如何在一个三角形内部画一个内接正方形？小聪对其进行如下探索：
第1步：如图1，在△ABC内部先作一个正方形DEFG，使得EF落在BC边上，D落在AB边上，他认为作这样的正方形比较容易实现，但是该正方形顶点G并没有落在AC边上；
第2步：他认为只要将正方形DEFG逐渐放大，就会实现点G落在AC边上的目的，于是他作了射线BG，交AC于点N；
第3步：他认为只要点N确定了，那么正方形NQPM就很容易得到了，于是就实现了在三角形内部画一个内接正方形的目的了．
借鉴小聪的探索过程，请你利用图2和图3，在扇形AOB内部作两个不同类型的内接正方形，并指出上述画图中主要利用了什么样的几何变换？

分析 方法1：在扇形AOB内部先作一个正方形DEFG，使得EF落在BC边上，D落在AO边上，将正方形DEFG逐渐放大，作射线OG，交弧AB于点N，进而得到正方形NQPM；
方法2：先作∠AOB的角平分线AC，再在扇形AOB内部先作一个正方形DEFG，使得DE⊥AC，D落在AO边上，E落在BO边上，将正方形DEFG逐渐放大，作射线OG、OF，分别交弧AB于点N、点Q，进而得到正方形NQPM．

解答 解：如图2、图3所示，正方形PQNM即为所求．

上述画图中主要利用了位似变换．

点评 本题主要考查了复杂作图以及正方形的判定的运用，画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

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