Question

18．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，$\frac{EC}{BC}=\frac{2}{3}$，求AC•EF的值．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的判定得出△AOF≌△COE（ASA），证得EO=FO，进而根据平行四边形的判定证得四边形AECF是平行四边形，因为AC⊥EF，即可证得四边形AECF是菱形；
（2）根据?ABCD与菱形AECF同高，$\frac{EC}{BC}=\frac{2}{3}$，进而得出?ABCD与菱形AECF的面积，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出答案．

解答 （1）证明：∵将?ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，
∴AO=CO，∠AOF=∠COE=90°，AD=BC，FG=DF，
在△AOF和△COE中．
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴EO=FO，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形，
（2）解：∵?ABCD与菱形AECF同高，$\frac{EC}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴?ABCD与菱形AECF的面积的比为：3：2，
∵平行四边形ABCD的面积为8，
∴菱形AECF的面积为$\frac{16}{3}$，
∵AC⊥EF，
∴菱形AECF的面积为：$\frac{1}{2}$×AC×EF=$\frac{16}{3}$，
∴AC•EF=$\frac{32}{3}$．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，得出△AOF≌△COE是解题关键．