题目内容
9．如图，直角梯形OABC，OC边放在x轴上，OA边放在y轴上，OC=12，BC=8，∠C=60°，点P以1个单位的速度从O点出发沿OC运动，点Q以相同的速度从C点出发，沿CB-BA运动，当一点到达终点时，两点停止运动；
（1）写出B点的坐标；
（2）写出△OPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
（3）当Q点在BC边上运动时，是否存在t值，使△OPQ为等腰三角形？若有，求出此时的t值；如果没有，请说明理由．
分析 （1）过B点作作BH⊥OC，在Rt△BHC中易求BH=4$\sqrt{3}$，CH=4，得到点B的坐标；
（2）根据点不同时间段Q点的位置，分0＜t＜8和8≤t≤12，分别计算△OPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
（3）分类讨论，用勾股定理表示线段，列方程求解．
解答 解：（1）作BH⊥OC，垂足为H，在Rt△BHC中，
∵BC=8，∠C=60°，
∴BH=4$\sqrt{3}$，CH=4，
∵OC=12，
∴OH=8
∴B（8，4$\sqrt{3}$）；
（2）当0＜t＜8时，作QM⊥OC，
在Rt△CQM中，
∵∠C=60°，
∴∠CQM=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{t}{2}$，QM=$\frac{\sqrt{3}t}{2}$，
∴S△OPQ=$\frac{1}{2}$•OP•QM=$\frac{\sqrt{3}{t}^{2}}{4}$；
当8≤t≤12时，S△OPQ=$\frac{1}{2}$•OP•BH=2$\sqrt{3}$t；
（3）∵Q点在BC边上，
∴0＜t≤8
∴O（0，0），P（t，0），Q（12-$\frac{t}{2}$，$\frac{\sqrt{3}t}{2}$），
①若OP=OQ，则OP2=OQ2；OP2=t2，OQ2=（12-$\frac{t}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）2
即：t2=（12-$\frac{t}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）2
解得：t=12＞8（不合题意，舍去）
②若PO=PQ，则OP2=PQ2；OP2=t2，PQ2=（12-$\frac{t}{2}$-t）2+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）2
即：t2=（12-$\frac{t}{2}$-t）2+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）2
解得：t1=6，t2=12，（舍去），
③若QO=QP，则OQ2=PQ2；PQ2=（12-$\frac{t}{2}$-t）2+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）2，OQ2=（12-$\frac{t}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）2
即：（12-$\frac{t}{2}$-t）2+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）2=（12-$\frac{t}{2}$）2+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）2
解得：t1=0（舍去），t2=12（舍去），
综上所述，当t=6时，△OPQ为等腰三角形．
点评 本题主要考查了动点问题，分类讨论，勾股定理的灵活运用以及等腰三角形的判定和性质；能严密的思考，巧妙的运数形结合是解决问题的关键．
阅读快车系列答案
如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠DOE：∠BOD=3：2，OF平分∠AOE，若∠AOC=24°，则∠EOF的度数．
如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．
已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．
如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，