题目内容
【题目】勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含
角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为
，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为
，…，第
个正方形和第个直角三角形的面积之和为
．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1）
______．
（2）通过探究，用含的代数式表示，则
______．
【答案】
（
为整数）
【解析】
根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为
，另一条直角边就是
，
∴三角形的面积为
，
∴S1=；
（2）∵第二个正方形的边长为
，它的面积就是
，也就是第一个正方形面积的，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，
∴S2=（），依此类推，S3=（），即S3=（）
，
Sn=（n为整数）．
故答案为：（1） ；（2）（为整数）
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