Question

4．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的象经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
（2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）应用待定系数法，求出a、b、c的值各是多少，即可求出这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标．
（2）首先根据直线y=kx+d经过C、M两点，求出k、d的值各是多少；然后分别求出CD、AN、AD、CN的值各是多少，判断出CD=AN，AD=CN，即可证明四边形CDAN是平行四边形．

解答 （1）解：∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴这个二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴顶点M（1，4），点C（0，3）．

（2）证明：∵直线y=kx+d经过C、M两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{k+d=4}\end{array}\right.$，
即k=1，d=3，
∴直线解析式为y=x+3．
令y=0，得x=-3，
∴D（-3，0），
∴CD=3$\sqrt{2}$，AN=3$\sqrt{2}$，AD=2，CN=2，
∴CD=AN，AD=CN，
∴四边形CDAN是平行四边形．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及平行四边形的判定，要熟练掌握．