Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S_△MAB=S_{平行四边形ABDC}，求出点M的坐标．
（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．
①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S_△CDP+S_△BOP的取值范围；
②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据点的平移规律易得点C，D的坐标；
（2）先计算出S_{平行四边形ABOC}=8，设M坐标为（0，m），根据三角形面积公式得$\frac{1}{2}$×4×|m|=8，解得m=±4，于是可得M点的坐标为（0，4）或（0，-4）；
（3）①先计算出S_梯形OCDB=7，再讨论：当点P运动到点B时，S_△BOC的最小值=3，则可判断S_△CDP+S_△BOP＜4，当点P运动到点D时，S_△BOC的最大值=4，于是可判断S_△CDP+S_△BOP＞3，所以3＜S_△CDP+S_△BOP＜4；
②分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO-∠EPC=∠BOP-∠DCP，于是∠BOP-∠DCP=∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP-∠BOP=∠CPO．

解答 解：（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；
（2）∵AB=4，CO=2，
∴S_{平行四边形ABOC}=AB•CO=4×2=8，
设M坐标为（0，m），
∴$\frac{1}{2}$×4×|m|=8，解得m=±4
∴M点的坐标为（0，4）或（0，-4）；
（3）①S_梯形OCDB=$\frac{1}{2}$×（3+4）×2=7，
当点P运动到点B时，S_△BOC最小，S_△BOC的最小值=$\frac{1}{2}$×3×2=3，S_△CDP+S_△BOP＜4，
当点P运动到点D时，S_△BOC最大，S_△BOC的最大值=$\frac{1}{2}$×4×2=4，S_△CDP+S_△BOP＞3，
所以3＜S_△CDP+S_△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，
∴∠EPO-∠EPC=∠BOP-∠DCP，
∴∠BOP-∠DCP=∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP-∠BOP=∠CPO．

点评 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查三角形面积公式和平行线的性质．