Question

已知抛物线y=

1

2

x²，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？说明理由．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）根据直角三角形的性质，可得OB=OC=OA，根据OB=OC=OA，可得一元二次方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据等边三角形的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移2个单位，理由如下：
设向下平移b个单位，若△ABC是直角三角形，
y=

1

2

x²-b，
可得A（-

2b

，0）B（

2b

，0）C（0，-b），
△ABC是直角三角形，
OB=OC=OA，

2b

=b，解得b=2，
若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移2个单位；
（2）若△ABC是等边三角形，那么原抛物线应向下平移6个单位，理由如下
设向下平移b个单位，若△ABC是直角三角形，
y=

1

2

x²-b，
可得A（-

2b

，0）B（

2b

，0）C（0，-b），
AB=2

2b

，BC=

2b+b2

，
若△ABC是等边三角形，
AB=BC，即2

2b

=

2b+b2

，
解得b=6．
若△ABC是等边三角形，那么原抛物线应向下平移6个单位．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了直角三角形的性质，等边三角形的性质，函数图象平移的规律．