Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，
（1）判断a，b，c及b²-4ac，a-b+c的符号；
（2）求a+b+c的值；
（3）下列结论：①b＜1，②b＜2a，③a＞

1

2

，④a+c＜1，⑤-a-b+c＜0．其中正确的有

 

，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：（1）根据抛物线的开口向上确定a是正数，对称轴在y轴右侧，确定b＜0；再根据抛物线y轴的负半轴相交确定c是负数，根据抛物线与x轴交于两点，确定b²-4ac＞0，根据图象可知x=-1时，y＜0，确定＜0；
（2）由函数的图象可知当x=1时，y=-3，即可得出a+b+c=-3；
（3）由对称轴x=-

b

2a

=

1

2

得出b=-a＜0，即可判定①的结论；由-

b

2a

=

1

2

＜1，

b

2a

＞1，得出b＞2a即可判定②的结论；由x₁=-1.5，x₂=2.5，所以

c

a

=-

15

4

，因为c=-3，a=

4

5

＞

1

2

，即可判定③的结论；由a=

4

5

，c=-3，得出a+c=-

11

5

＜1，即可判定④结论；由b=-a，得出-a-b+c=c=-3，即可判定⑤的结论．

解答：解：（1）∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴负半轴相交，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴交于两点，
∴b²-4ac＞0，
∵x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0；

（2）由函数的图象可知当x=1时，y=-3，
所以a+b+c=-3；

（3）∵对称轴x=-

b

2a

=

1

2

∴b=-a＜0
∴b＜1；故①正确；
∵-

b

2a

=

1

2

＜1，
∴

b

2a

＞1，
∵a＞0，
∴b＞2a故②错误；
∵x₁=-1.5，x₂=2.5，
∴

c

a

=-

15

4

，
∵c=-3，
∴a=

4

5

＞

1

2

，故③正确；
∵a=

4

5

，c=-3，
∴a+c=-

11

5

＜1，故④正确；
∵b=-a，
∴-a-b+c=c=-3＜0，故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点．