Question

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于x轴，A（1，0），B（3，0），矩形的宽AD为1，一条直线y=kx+2（k≠0）与折线ABC交于点E．
（1）证明：直线y=kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；
（2）当直线y=kx+2与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围；
（3）设△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据一次函数的图象，不论k取何值，当x=0时，y=2一定成立，据此即可判断；
（2）求得直线经过点A和点C时对应的k的值，即可判断；
（3）分成点E在AB上和BC上两种情况进行讨论，利用三角形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）不论k取何值，当x=0时，y=2，则函数一定经过顶点（0，2）；
（2）当直线经过点A时，把点（1，0）代入y=kx+2得：k+2=0，解得：k=-2；
当直线经过点C（3，1）时，代入y=kx+2得：3k+2=1，解得：k=-

1

3

，
则k的取值范围是：-2≤k≤-

1

3

；
（3）CD=3-1=2，
当直线经过点B时，把B的坐标（3，0），代入y=kx+2得：3k+2=0，解得：k=-

2

3

，
当-2≤k≤-

2

3

时，E在AB上，则S_△CDE=

1

2

×2×1=1；
当-

2

3

＜k≤-

1

3

时，E在BC上，在y=kx+2中，令x=3，则y=3k+2，则CE=1-（3k+2）=-3k-1
则S_△CDE=

1

2

×2×（-3k-1）=-3k-1．
即S=-3k-1．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积公式，正确确定k的取值范围是关键．