Question

已知直线y=

5

4

x+

5

2

于点A，和y轴相交于点C，和反比例函数y=

10

x

一象限的图象交于点B，作直线BD，使∠ABD=90°，BD交x轴于点D．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：点C是线段AB的中点；
（3）求BD所对应的一次函数的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由直线y=

5

4

x+

5

2

和反比例函数y=

10

x

在第一象限的图象交于点B，可得方程组

y= 5 4 x+ 5 2 y= 10 x

，解此方程即可求得点B的坐标；
（2）首先由直线y=

5

4

x+

5

2

于点A，和y轴相交于点C，可求得点A与C的坐标，然后过点B作BE⊥x轴于E，则点E的坐标是（2，0），易得OC是△ABE的中位线，继而证得结论；
（3）易证得△ABE∽△BED，然后由相似三角形的对应边成比例，求得D的长，则可求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线BD所对应的一次函数的解析式．

解答：解：（1）由已知：

y= 5 4 x+ 5 2 y= 10 x

，
解得

x=2 y=5

，

x=-4 y=- 5 2

（舍去），
∴点B的坐标是（2，5）；

（2）∵直线y=

5

4

x+

5

2

于点A，和y轴相交于点C，
∴A、C两点的坐标分别是（-2，0），（0，

5

2

），
过点B作BE⊥x轴于E，则点E的坐标是（2，0），
∵A（-2，0），E（2，0），O（0，0），
∴OA=OE=2，
∴O是AE的中点，
又∵OC⊥AE，BE⊥AE，
∴OC∥BE，
∴OC是△ABE的中位线，
即C是AB的中点；

（3）在Rt△ABD中，BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BED=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵∠ABD=90°，
∴∠ABE+∠EBD=90°，
∴∠BAE=∠EBD，
∴△ABE∽△BED，
∴AE：BE=BE：ED，
∴BE²=AE•ED，
又∵AE=4，BE=5
∴ED=

25

4

，
∴OD=2+

25

4

=

33

4

，
点D的坐标为（

33

4

，0），
设直线BD为y=kx+b，
则

2k+b=5 33 4 k+b=0

，
解得：

k=- 4 5 b= 33 5

，
∴BD的方程为：y=-

4

5

x+

33

5

．

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及反比例函数与一次函数的交点问题．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．