Question

如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．设BE，DC交于点P，连接AP，求式子

PB+PC+2PA

PD+PE

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：在DP上截取DG=PB，连接AG，AP，易证△CAD≌△EAB，可得∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，即可证明△ADG≌△ABP，可得∠DAG=∠BAP，AG=AP，即可判定△PAG为等边三角形，易得∠CAG=∠EAP，即可证明△CAG≌△EAP，可得CG=PE，即可解题．

解答：解：在DP上截取DG=PB，连接AG，AP，

∵△ABD、△AEC等边三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60°，AC=AE，AD=AB，
∴∠BAD+∠BAC=∠BAC+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△CAD和△EAB中，

AE=AC ∠BAE=∠CAD AD=AB

，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，
在△ADG和△ABP中，

AD=AB ∠ADC=∠ABE DG=BP

，
∴△ADG≌△ABP（SAS），
∴∠DAG=∠BAP，AG=AP，
∵∠DAG+∠BAG=60°，∴∠BAG+∠BAP=60°，即∠PAG=60°，
∴△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP，
∴PA=PG，
在△CAG和△EAP中，

AG=AP ∠CAG=∠EAP AC=AE

，
∴△CAG≌△EAP（SAS），
∴CG=PE，
∴PD+PE=DG+PG+PC+PG=PB+PC+2PA，
∴

PB+PC+2PA

PD+PE

=1．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CAD≌△EAB、△ADG≌△ABP和△CAG≌△EAP是解题的关键．