Question

9．如图，在平面直角坐标系中，第一将△OAB变成△OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄，则A₄的坐标是（16，3），B₄的坐标是（32，0）；
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OA_nB_n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A_n的坐标是（2ⁿ，3），B_n的坐标是（2ⁿ⁺¹，0）．
（3）在前面一系列三角形变化中，你还发现了什么？

Answer 1

分析 （1）根据点B₃的坐标以及等腰三角形的性质即可得出点A₄、B₄的坐标；
（2）根据点A_n、B_n的变化，找出变化规律“A_n（2ⁿ，3），B_n（2ⁿ⁺¹，0）”，此题得解；
（3）根据图象以及找出点A_n、B_n的坐标的变化规律即可得出结论．

解答 解：（1）∵B₃（16，0），△OA_nB_n为等腰三角形，
∴A₄（16，3），B₄（32，0）．
故答案为：（16，3）；（32，0）．
（2）观察，发现：A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），A₄（16，3），…，
∴A_n（2ⁿ，3）；
B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0），B₄（32，0），…，
∴B_n（2ⁿ⁺¹，0）．
故答案为：（2ⁿ，3）；（2ⁿ⁺¹，0）．
（3）在前面一系列三角形变化中，我发现：点A_n的纵坐标均为3，点B_n都在x轴上，△OA_nB_n均为等腰三角形．

点评 本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是：（1）根据等腰三角形的性质找出点A₄、B₄的坐标；（2）根据坐标的变化找出变化规律“A_n（2ⁿ，3），B_n（2ⁿ⁺¹，0）”；（3）根据图形以及点A_n、B_n的坐标的变化规律找出结论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．