Question

17．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（　　）

• A． 垂心
• B． 重心
• C． 内心
• D． 外心

Answer 1

分析 先利用直角三角形和等边三角形的性质得出∠CBE=∠FBE=150°，从而得出△CBE≌△FBE，再用全等三角形的性质得出CE=FE，∠FEB=∠CEB，进而得出BE⊥CF于G，即：EG是△MEF的边FM上的高，同理得出FH是△MEF的边EM上的高，即可．

解答 解：如图，

连接CE，AF，延长EB交MF于G，延长FB交ME于H，
∵以Rt△ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ABE和等边△BCF，
∴∠CBE=90°+60°=150°，∠FBE=360°-90°-60°-60°=150°，
在△CBE与△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=BF}\\{∠CBE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△FBE（SAS）；
∴CE=FE，∠FEB=∠CEB，
∴BE⊥CF于G，
∴EG是△MEF的边FM上的高，
同理：FH是△MEF的边EM上的高，
∴点B是△MEF的三边的高，
即：点B是△MEF的垂心．
故选A．

点评 此题是三角形的五心，主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，三角形的高线，解本题的关键是△CBE≌△FBE（SAS），难点是作出辅助线．