Question

16．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b²-4ac＞0；②abc＜0；③m＜-3；④3a+b＞0．其中，正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对②进行判断；由ax²+bx+c-m=0没有实数根得到抛物线y=ax²+bx+c与直线y=m没有公共点，加上二次函数的最想值为-3，则m＜-3，于是可对③进行判断，由对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，得b=-2a，则2a+b=0，于是可对④进行判断，

解答 解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵ax²+bx+c-m=0没有实数根，
即抛物线y=ax²+bx+c与直线y=m没有公共点，
∵二次函数的最小值为-3，
∴m＜-3，所以③正确；
∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，
∵a＞0，
∴3a+b＞0，所以④正确．
故选C．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．