Question

正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点M．
（1）求证：四边形CDEM是菱形； 
（2）设ME²=BE•BM，若AB=4，求BE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）证明∠D+∠DCA=180°，得到DE∥AC；同理可证DC∥BE，即可解决问题．
（2）证明△ABE∽△MAB，得到AB²=BE•BM；证明ME=AB=4，BM=BE-4，得到BE（BE-4）=16，解方程即可解决问题．

解答：解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠D=

1

2

×

3

5

×360°=108°，∠DCA=

1

2

×

2

5

×360°=72°，
∴∠D+∠DCA=180°，
∴DE∥AC；同理可证DC∥BE，
∴四边形DEMC为平行四边形，而DE=DC，
∴四边形CDEM是菱形．
（2））∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AEB=

1

2

×

1

5

×360°=36°，∠EAM=

1

2

×

2

5

×360°=72°；
同理可求∠BAC=∠ABE=36°，
∴△ABE∽△MAB，
∴AB：BE=BM：AB，
∴AB²=BE•BM；
∵ME²=BE•BM，
∴ME=AB=4，BM=BE-4，
∴BE（BE-4）=16，
解得：BE=2+2

5

或2-2

5

（舍去）．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定、菱形的判定等几何知识点的应用问题；解题的关键是牢固掌握定理内容，灵活运用有关定理来分析、解答．