题目内容
8．
在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在第一象限的角平分线OD上时停止旋转，旋转过程中，AB边交OD于点M，BC边交x轴于点N，AC与OD相交于点E，与x轴相交于点F．（如图）．（1）试探究在旋转的过程中AM、MN、CN三条线段之间的数量关系，并证明你探究的结论．
（2）在旋转正方形OABC的过程中，若AE=CF，试求此时EF的长．
分析 （1）延长NC至G，使CG=AM，连接OG，先证△OAM≌△OCG，再证△MON≌△GON即可；
（2）由所给条件证明AO=AF，再依次算出AC，CF、EF．
解答 解：（1）MN=AM+CN，理由如下：
延长NC至G，使CG=AM，连接OG，如图，
∵四边形AOCB是正方形，
∴OA=OC，∠OAM=∠OCG=∠AOC=90°，
在△OAM和△OCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAM=∠OCG}\\{AM=CG}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OCG（SAS），
∴OM=OG，∠AOM=∠COG，
∴∠AOC=∠MOG=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠MON=∠GON=45°，
在△MON和△GON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=OG}\\{∠MON=∠GON}\\{ON=ON}\end{array}\right.$，
∴△MON≌△GON（SAS），
∴MN=GN，
∵NG=NC+CG，
∴MN=AM+AN；
（2）如图，
∵四边形AOCB为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠OAC=∠OCA=45°，
在△OAE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF，
∵∠EOF=45°，
∴∠OEF=∠OFE=67.5°，
∴∠AOF=∠AFO=67.5°，
∵OA=AF=2，
∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴CF=AE=$2\sqrt{2}-2$，
∴EF=$2\sqrt{2}-2（2\sqrt{2}-2）=4-2\sqrt{2}$．
点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转变换等知识点，难度适中．本题是经典的“大角夹半角”模型，旋转补短、构造全等三角形是基本手段，务必掌握．
如图所示，在平面直角坐标系中，A、B两点分别是y轴、x轴上的两个动点，∠CAB=90°，AB=4，AC=3，当A、B两点在x、y轴的正半轴上运动时，OC的最大距离是$\frac{5+\sqrt{61}}{2}$．
如图，这是某城市部分简图，每个小正方形的边长为1个单位长度，已知火车站的坐标为（1，2），试建立平面直角坐标系，并分别写出其它各地点的坐标．
如图，在一斜坡坡顶A处的同一水平线上有一古塔，为测量塔高BC，数学老师带领同学在坡脚P处测得斜坡的坡角为α，且tanα=$\frac{7}{24}$，塔顶C处的仰角为30°，他们沿着斜坡攀行了50米，到达坡顶A处，在A处测得塔顶C的仰角为60°．