Question

13．如图（仅供参考），已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（1）用含t的式子表示 AE=t，AD=12-2t；
（2）如图2，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
（3）连接DE，当t=3或$\frac{24}{5}$时，△DEF为直角三角形；
（4）如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t=4时，四边形AEA′D为菱形．请说明理由；
（5）在（4）的条件下，判断此时点A′是否在BC上．

Answer 1

分析 （1）根据题意直接表示出来即可；
（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t，又AE=t，则DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；
（3）①显然∠DFE＜90°；
②如图1，当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE=$\frac{1}{2}$AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
③如图2，当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°-∠A=30°，此时AD=$\frac{1}{2}$AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；
（4）如图3，若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD，则t=12-2t，所以t=4．即当t=4时，四边形AEA′D为菱形；
（5）根据直角三角形的性质得出GE=2BE，进而得出，GE=4=EA′，故点G与点A′重合，即可得出答案．

解答 （1）解：∵E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，
∴AE=t，
∵点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，AC=12cm，
∴AD=12-2t；
故答案为：t，12-2t；

（2）证明：如图1，∵DF⊥BC，∠C=30°
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×2t=t
∵AE=t
∴DF=AE，
∵∠ABC=90°，DF⊥BC
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（3）解：①显然∠DFE＜90°；
②如图1，当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，
此时 AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2t=t，
∴t=$\frac{1}{2}$（12-2t），
解得：t=3，
③如图2，当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
∴12-2t=$\frac{1}{2}$t
解得：t=$\frac{24}{5}$，
综上：当t=3秒或t=$\frac{24}{5}$秒时，△DEF为直角三角形；
故答案为：3或$\frac{24}{5}$；

（4）解：如图3，若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD
则t=12-2t
解得：t=4
∴当t=4时，四边形AEA′D为菱形；
故答案为：4；

（5）解：设EA′交BC于点G
在Rt△EBG中，∠BEG=180°-∠AEG=60°，
则GE=2BE，
∵BE=AB-AE=6-4=2，
∴GE=4=EA′，
∴点G与点A′重合，
∴点A在BC上．

点评 本题考查了四边形综合题以及菱形的判定与性质和直角三角形的性质、平行四边形的判定等知识，解题时，需要分类讨论进而求出符合题意的答案．