Question

17．如图，在一斜坡坡顶A处的同一水平线上有一古塔，为测量塔高BC，数学老师带领同学在坡脚P处测得斜坡的坡角为α，且tanα=$\frac{7}{24}$，塔顶C处的仰角为30°，他们沿着斜坡攀行了50米，到达坡顶A处，在A处测得塔顶C的仰角为60°．
（1）求斜坡的高度AD；
（2）求塔高BC．

Answer 1

分析 （1）在Rt△APD中，根据tanα的值设AD=7k，PD=24k，利用勾股定理表示出AP，根据AP=50，求出k的值，继而可求得AD的长度；
（2）延长CB交PO于点E，设塔高为x，在Rt△CBA中，求出AB的长度，然后在Rt△PCE中，根据∠CPE=30°，利用三角函数求解．

解答 解：（1）在Rt△APD中，
∵tanα=$\frac{7}{24}$，
∴设AD=7k，PD=24k，
∴PA=$\sqrt{（7k）^{2}+（24k）^{2}}$=25k，
∵PA=50，
∴AD=APsinα=50×$\frac{7}{25}$=14（m）；
（2）延长CB交PO于点E，可得四边形ABED为矩形，
设塔高为x，
在Rt△CBA中，
∵∠CAB=60°，tan60°=$\frac{BC}{AB}$，
∴AB=$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△CPE中，
∵∠CPE=30°，
∴$\frac{CE}{PE}$=tan30°，
即$\frac{x+14}{48+\frac{\sqrt{3}}{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=24$\sqrt{3}$-21，
答：塔的高度为（24$\sqrt{3}$-21）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形．