Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠B的平分线，交AC于点D，E是AB中点，ED交BC的延长线于点F．求证：AB=CF．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：根据等腰三角形的性质，可得∠ABC=∠ACB=72°，根据角平分线的性质，可得∠1=∠2=36°，可得DA与DB的关系，根据线段垂直平分线的判定与性质，可得FA与FB的关系，可得∠FAB与∠ABC的关系，根据三角形外角的关系，可得∠AFC=∠ACB-∠3=36°，根据等腰三角形的判定，可得AC与CF的关系，根据等量代换，可得答案．

解答：证明：如图：
，
连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°，
∴∠1=∠BAD=36°，
∴DA=DB．
∵AE=BE，
∴FE⊥AB，即FE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB，
∴∠FAB=∠ABC=72°，
∴∠3=∠FAB-∠BAC=36°，
∵∠ACB=∠3+∠AFC，
∴∠AFC=∠ACB-∠3=36°，
∴∠3=∠AFC，
∴AC=CF，
∴AB=CF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．