题目内容

18．已知如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=3x交于点C，且|OA-6|+$\sqrt{OB-\frac{9}{2}}$=0，将直线y=kx+b沿直线y=3x折叠，与x轴交于点D，与y轴交于点E．
（1）求直线y=kx+b的解析式及点C的坐标；
（2）求△BCE的面积；
（3）若点P是直线y=3x上的一个动点，在平面内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）利用非负性求出OA，OB，进而得出点A，B坐标，用待定系数法求出直线AB解析式，再联立直线OC的解析式即可求出点C的坐标；
（2）联立直线MN和直线AB的解析式求出点M的坐标，利用对称求出点N的坐标，进而求出直线CE的解析式即可；
（3）分AC为矩形的边和对角线，利用矩形的对角线互相平分且相等，借助中点坐标公式即可解决．

解答 解：（1）∵|OA-6|+$\sqrt{OB-\frac{9}{2}}$=0，
∴OA=6，OB=$\frac{9}{2}$，
∴A（-6，0），B（0，$\frac{9}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$①，
∵点C是直线AB与OC：y=3x②的交点，
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴C（2，6）；

（2）如图1，
过点O作直线MN⊥OC交直线AB于M，直线CE于N，
∵直线OC的解析式为y=3x，
∴直线MN的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x①，
∵直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$②，
联立①②解得，x=-$\frac{54}{13}$，y=$\frac{18}{13}$，
∴M（-$\frac{54}{13}$，$\frac{18}{13}$），
由折叠知，M，N关于原点对称，
∴N（$\frac{54}{13}$，-$\frac{18}{13}$），
∵C（2，6），
∴直线CE的解析式为y=-$\frac{24}{7}$x+$\frac{90}{7}$，
∴E（0，$\frac{90}{7}$），
∴BE=$\frac{90}{7}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{117}{14}$，
∴S△BCE=$\frac{1}{2}$BE×|xC|=$\frac{1}{2}×\frac{117}{14}$×2=$\frac{117}{14}$；

（3）如图2，
当AC为矩形的边时，AP⊥AC，
∵直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$，
∴直线AP的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-8①
∵点P在直线y=3x②上，
联立①②解得，P（-$\frac{24}{13}$，-$\frac{72}{13}$），
∵C（2，6）
∴PC的中点M（$\frac{1}{13}$，$\frac{3}{13}$），
∵四边形APQC是矩形，
∴M是AQ的中点，
∴Q（$\frac{80}{13}$，$\frac{6}{13}$）；

当AC为矩形的对角线时，AP'⊥OC，
∵直线OC的解析式为y=3x，
∴直线AP'的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-2③，
∵点P'在直线OC上，
∴点P'的坐标满足y=3x④，联立③④解得，P'（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{9}{5}$），
∵A（-6，0），C（2，6），
∴AC的中点坐标M'（-2，3），
∵四边形AP'CQ'是矩形，
∴M'是P'Q'的中点，
∴Q'（-$\frac{17}{5}$，$\frac{39}{5}$），
即：满足条件的点P（-$\frac{24}{13}$，-$\frac{72}{13}$），Q（$\frac{80}{13}$，$\frac{6}{13}$）或P（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{9}{5}$），Q（-$\frac{17}{5}$，$\frac{39}{5}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了非负性，待定系数法，三角形的面积公式，矩形的性质，折叠的性质，解本题的关键是利用待定系数法求直线解析式，解（3）的关键是分类讨论的思想思考问题．

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