Question

某公路的同一侧有A，B，C三个村庄，要在公路Ox边建一货栈D，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→A→D．
（1）在公路边是否存在点D，使送货路程最短？（把公路边近似看做公路上）
（2）将A，B，C三点放在平面直角坐标系中，把x轴建立在公路上，如图，画出D点在该坐标系中的位置，并求点D的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：数形结合,待定系数法

分析：（1）过点A作公路的对称点A′，连接A′C与公路的交点就是所求点D；
（2）先根据轴对称的性质作出A′点并求出其坐标，得出过A′C的直线方程，再根据D点的坐标特点求出D点坐标即可．

解答：解：（1）存在，因为路线D→A→B→C→D和D→C→B→A→D中AB、BC的长已经确定，不可能变化，只要找出点D，使AD、CD的和最小即可，那么只要过点A作公路的对称点A′，连接A′C与公路的交点就是所求点D；

（2）显然，A关于x轴的对称点A′的坐标为A′（1，-2），设A′C所在的直线的解析式为y=kx+b，则A′、C在直线上得

k+b=-2 4k+b=1

，
解得：

k=1 b=-3

则直线A′C的解析式为y=x-3，
令y=x-3=0，得x=3，
所以直线A′C与x轴的交点为D（3，0），即D点坐标为（3，0）．

点评：本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式，再根据x轴上点的坐标特点求出D点的坐标即可．