Question

如图1，点D、F、A、E在同一条直线上，且AE=DF，分别以DA、AE为一边，在直线DE的同侧作等边△DBA和等边三角形ACE，试证明△BCF也是等边三角形．
（1）下面是小伟对此题的分析过程，请你根据他的分析填空；此题中，要证明△BCF是等边三角形，至少要证明两条边相等，欲证明两条边相等，可以通过证明两条边所在的两个三角形全等来实现，根据条件，在不加辅助线情况下，不妨尝试证明

 

≌△ABC，依据是

 

（写出定义、公理或定理内容）；
（2）如图2，点D、B、C在同一条直线上，分别以DB、BC为一边、在直线DC的同侧作等边三角形DBA和等边三角形BCF，再以DA、DF为邻边作平行四边形ADFE．求证：△ACE是等边三角形；
（3）图3是图2中的等边△BCF绕点B顺时针旋转一个角度后得到的图形，若其他条件不变，△ACE是否还是等边三角形？请加以说明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：几何综合题,探究型

分析：（1）根据等边三角形的性质就由两边及夹角对应相等的两三角形全等可以得出△DBF≌△ABC；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出△DBF≌△ABC；就有DF=AC，∠BDF=∠BAC，∠BFD=∠BCA，就可以得出∠AOD=60°，由平行四边形的性质就可以得出∠CAE=∠AOD=60°，就可以得出结论．
（3）延长EF的交AB的延长线于点P，与BC相交于点Q．根据等边三角形的性质就可以得出△DBF≌△ABC；就有DF=AC，由平行四边形的性质就可以得出AD=EF=AB．证明△ABC≌△EFC就可以得出AC=EC，进而结论．

解答：解：（1）∵△ABD与△FBC都是等边三角形，
∴AB=AD=BD，AC=AE=CE，∠ABD=∠BAD=∠D=∠CAE=60°．
∵D、F、A、E在同一条直线上，
∴∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠BAC=∠D=60°．
∵AE=DF，
∴DF=AC．
在△DBF和△ABC中，

DF=AC ∠D=∠BAC DB=AB

，
∴△DBF≌△ABC（SAS）．
故答案为：△DBF，两边及夹角对应相等的两三角形全等；
（2）∵△ABD与△FBC都是等边三角形，
∴AB=AD=BD，BF=BC=CF，∠ABD=∠BAD=∠ADB=∠CBE=60°．
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
∴∠DBF=∠ABC．
在△DBF和△ABC中，

DB=AB ∠DBF=∠ABC BF=BC

，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF=AC，∠BDF=∠BAC，∠BFD=∠BCA，
∵∠AOD=∠FDC+∠OCD，
∴∠AOD=∠FDC+∠BFD=∠FBC=60°．
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE=DF，AE∥DF，
∴AE=AC，∠CAE=∠AOD=60°，
∴△ACE是等边三角形．
（3）△ACE是等边三角形．
延长EF的交AB的延长线于点P，与BC相交于点Q．
∵△ABD与△FBC都是等边三角形，
∴AB=AD=BD，BF=BC=CF，∠ABD=∠BAD=∠ADB=∠CBE=60°．
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
∴∠DBF=∠ABC．
在△DBF和△ABC中，

DB=AB ∠DBF=∠ABC BF=BC

，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF=AC．
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴EF=AD=AB，AE=DF，EF∥AD，
∴AE=AC，∠P=∠BAD=60°=∠BCF，
∵∠ABC=∠P+∠PQB，∠EFC=∠BCF+∠CQF，∠PQB=∠CQF，
∴∠ABC=∠EFC，
在△ABC和△EFC中，

AB=EF ∠ABC=∠EFC BC=CF

，
∴△ABC≌△EFC（SAS），
∴AC=CE，
∴AE=AC=CE．
∴△ACE是等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，平行四边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．